گزارش خرابی لینک
اطلاعات را وارد کنید .
گزارش انتشار نسخه جدید
اطلاعات را وارد کنید .
no-img
سفارش تایپ ،ترجمه، مقاله، تحقیق ، پایان نامه

توان و جذر در ریاضی - سفارش تایپ ،ترجمه، مقاله، تحقیق ، پایان نامه


سفارش تایپ ،ترجمه، مقاله، تحقیق ، پایان نامه
adsads

ادامه مطلب

توان و جذر در ریاضی
آبان 6, 1394
7411 بازدید
گزارش نسخه جدید

توان و جذر در ریاضی


توان و جذر در ریاضی

مقدمه

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم، می گوییم آن عدد را به توان رسانده ایم. که عددر را پایه و تعداد عدد ها راکه توان می نامیم. نام دیگر توان، نما می باشد.   ۳ ۵ =۵  ×۵×۵ در اینجا عدد ۵ پایه وعدد۳ توان  یا نما نام دارد. تعریف: به عددهایی مانند ab یک عدد تواندار می گوییم. a  را پایه عدد و b را توان یا نمای آن نامیده و می خوانیم «a  به توان b»         ۸۲ = ۸ × ۸ = ۶۴   به مثالها توجه کنید:
     ۵۳ = ۵ × ۵ × ۵ = ۱۲۵
۲۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۱۶             ۹ × ۹ × ۹ × ۹ × ۹ × ۹=۹۶

a7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa 
 x6 = xxxxxx

به مثال توجه کن  
 
 ۸    =۳ ۲=۲×۲×۲   عدد۲  
  چند بار درخودش ضرب شده؟۳بار 

         ۵۴  ببینیم  عدد۵ چند بار درخودش ضرب می شود؟۴بار  
  ۵۴   = ۵×۵×۵×۵

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

هرگاه عددی را چند بار در خودش ضرب کنیم  برای آسان شدن تعداد هرچند بار دربالای عدد تعداد آن را می نویسیم .پس ما تعداد چند بار را جمع می کنیم  مثلا دراینجا عدد۶  چندبار ضرب شده 

۶×۶×۶×۶×۶×۶ ×۶  دراین صورت  ۷بارضرب شده  ۷  ۶

مثال۲ :        ۵ ۶   =  ۲  +  ۳  ۶  =   ۲ ۶ ×   ۳ ۶    =۶×۶× ۳ ۶   دراین جا عدد۶ را ببین ۵بار ضرب شده دوبار  جدا و(۳ ۶ =۶×۶×۶)  درتمرین بالا اگر در مورد ۲ ۶ ×   ۳ ۶     اگر توان ها را ضرب کنید با تعداد ضرب جور در نمی آیدومی شود ۶ ۶   که غلط است  باید ۵بار شود 

 

جمع و تفریق توان ها: در جمع و تفریق دو یا چند عدد توان دار، ابتدا هر کدام از اعداد را جداگانه به توان می رسانیم. سپس با هم جمع یا تفریق می کنیم.   
   ۲۰=۳۲-۲۷+۲۵=۲۵۳ + ۵۲
نکته: اگر عددی توان نداشته باشد توان آن را عدد ۱ در نظر می گیریم. ۱ ۳=۳
نکته:  هر عدد به توان ۱ برابر است با همان عدد
نکته: عدد ۱ به هر توانی برسد حاصل ۱ می شود. ۱   =  ۱۵  ۱        و    ۹۱ = ۹
نکته: توان دوم هر عدد را مجذور (مربع)آن عدد می گویند (در واقع مساحت مربعی را حساب می کنیم که طول ضلع آن را دارد.  مجذور۴= ۲ ۴     
نکتهتوان سوم هر عدد را مکعب آن عدد می گویند (می توان گفت: مکعب یک عدد، حجم مکعب مربعی است  که این عدد اندازه ی هر ضلع آن مکعب است)     مکعب ۵= ۳ ۵
نکته: اگر پایه ی یک عدد توان دار ، عددی منفی، کسری یا اعشاری باشد پایه ی آن عدد را در داخل پرانتز می نویسیم
مانند: ۳(۲-) یا ۴(    ۱)یک دوم به نوان۴
                         ۲
نکته: هر عدد غیر صفر به توان  ۰ برسد حاصل ۱ می شود .    
 ۰≠ a0 =1             a
 
اما ۰۰     را می گویند (نا معین) زیرا هم یک می توان گفت وهم صفر
۱)در ضرب اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را جمع می کنیم  b a  ×  ac=  (b+c)  a

۲۱۲  =  ۲۵
× ۲۷ 

 ( y5 =  y2 y3 = yyyyy  =(y2)(y3  
یا     : y2 y3 = y2+3 = y5

x2x3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x5           = x2   ×   x3 =  x(2+3)=    x5

xy)3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x3y3)
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را ضرب می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم. در ضرب اعداد توان دار با توان مشابه توانها را می نویسیم و پایه ها را ضرب می کنیم
۲۶
× ۵۶
= ۱۰۶
ج) اگر پایه ها نامساوی و نماها نیز نا مساوی باشند ابتدا هر یک از آن ها را به توان می رسانیم سپس در هم ضرب می کنیم.
۲۷×۲۵=
۲۳ × ۵۲
مثال: حاصل ضرب مقابل را به صورت توان دار بنویسید.         = ۵۳ × ۵۳
۲۵۳= ۳ (۵ × ۵ ) = ۵۳ × ۵۳
توجه: هر یک از دو راه را که انتخاب کنیم درست است     = ۵۳ × ۵۳
اف)     ۵×۵×۵×۵×۵×۵= ۵۶
ب)   
 ۲۵×۲۵×۲۵= ۲۵۳                         ۲۵۳۶
توجه: در بعضی موارد که پایه ها و توان ها هیچ کدام مساوی نیستند می توانیم با یک تغییراتی در اعداد ، پایه ها و یا توان های آنها را برابر کنیم.
 (
الف)   ۹۶= ۲ ۹ ×۹۴=۸۱× ۹۴
 (
ج) ۹۵= ۹۳×۹۲= ۹۳× ۳۴   
۲)در تقسیم اعداد توان دار :
الف)اگر پایه ها مساوی باشند یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم.
۲۳
=۲۶    ÷  ۲۹ 

  x4/x2 = (xxxx) ÷ (xx) = xx = x2    = x4÷x2 = x(4-2) = x2    (
علامت /  خط کسری است)
     x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
اگر توجه کنیدx0=1
ب)اگر توان ها مساوی باشند پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم و یکی از توان ها را می نویسیم.
۳۷     =   ۲۷  ÷  ۶۷
اگر در تقسیم دوعدد ، توا ن پشت ( ) باشد ،توان برای هر دو حساب می شود. علامت / خط کسری است. y/y = 1
به انواع مثالها توجه کنید:
x/y)3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x3/y3)
(x/y)n = xn/yn )                   
 
 
     ۳  )
توان در توان :
اگر عددی توان دار را مجددا به توان برسانیم توان ها را در هم ضرب می کنیم.
                         ۵  (  
۲۳     )  =۲۱۵
x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12`)     
(x3)4 = x3×۴ = x12 )            

۴)توان- توان :
درعبارت هایی که به شکل a (m)n
هستند ابتدا باید m را به توان n برسانیم و پاسخ را توان a در نطر بگیریم.
                                        ۳
ابتداتوان را به توان برسانید.      ۵ ۲=۲۱۲۵           

 
 

۵- قانون توان صفر:
هر عدد (به جز صفر) به توان صفر برابر است با یک.   ۰  ۳=    ۱       و   ۱=۰  ۵
      ۹۰ = ۱
به مثال زیر توجه کنید:
x2÷x2 = x2-2 = x0 =1
به مثالها توجه کنید وآنها را بررسی کنید.تا…..

۳۵ = ۳ ÷۶ ۳ = ۳۱ ÷ ۳۶ =۱- ۶ ۳ = ۳۵= ۲۴۳
۳۴ = ۳ ÷۵ ۳ = ۳۱ ÷ ۳۵ =۱- ۳۵ = ۳۴= ۸۱
۳۳ = ۳۱ ÷۴ ۳ = ۳۱ ÷ ۳۴ =   ۱ – ۴ ۳  = ۳۳= ۲۷
۳۲ = ۳ ÷۳ ۳ = ۳۱ ÷ ۳۳ =۱– ۳ ۳  = ۳۲= ۹
۳۱ = ۳ ÷۲ ۳ = ۳۱ ÷ ۳۲ =۱-  ۲ ۳    = ۳۱= ۳

 

 به طور منطقی اثبات می کنیم.  ۱=۳۰ =    ۱-۱ ۳ = ۳۱ ÷ ۳۱  = ۳۰ .
اگر دوعدد مساوی با توان مساوی برهم تقسیم شوند را  داشته باشیم باز مساوی یک می شود:
m0 = m(n – n) = mn × m–n = mn ÷ mn = 1
نتیجه   :۱-هرعدد به توان صفر=۱    پس: ۰۰ = ۱
  ۲-
صفر به توان صفر =صفر پس ۰۰ = ۰ البته ریاضی دانان می گویند “۰۰” نامعین وتعریف نشده است.       
 

 

x0 = 1, پش

۰۰ = ۱

۰n = 0, پس

۰۰ = ۰

       
 

تمام اعداد منفی وقتی به توان فرد می رسند، همان منفی باقی می مانند.      
مثال :     ۶۴– =   ۳  (۴-)  یا        ۸ – = ۳  (۲ – )

توجه توجه:عدد به توان منفی  به مخرج کسر میرود .اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم،  چون حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است.
تمام اعداد منفی وقتی به توان زوج می رسند مثبت می شوند :    ۹ = ۲ (۳-)
۲(-۲) = (۲-) × (۲-) = ۴
     ۲۵ +  =(۵-) × (-۵)  =۲( ۵-)      
      
تمام اعداد مثبت وقتی به توان فرد یا زوج می رسند، مثبت باقی می مانند.
       +۲۵ =  ( ۵ +) × (۵+) =  ۲( ۵+)        
و۱۲۵ += (۵+  ) ×(+۵)  ×   (+۵) =  ۳( ۵+)

۱(-۱)۱ = ۱  –      عدد منفی توان فرد
۲(-۱) = (    ۱-) × (۱- ) +۱    
عدد منفی توان زوج
۳(-۱) = (۱-) × (۱-) × (۱-) =۱- 
عدد منفی توان فرد
۴(-۱) = (۱-) × (۱-) × (۱-) × (۱-) = ۱ + 
عدد منفی توان زوج
مثال:   ۹۷ (-۱)  =    ۱-

 ۶(-۲)= ۶۴ + عدد منفی به توان زوج برسد پاسخ مثبت می شود                   
قرینه ی عدد a یعنی a -. برای به دست آوردن قرینه ی هر عدد، آن عدد را در (۱-) ضرب می کنیم.
 
 
موارد توان را با   (  )  بررسی می کنیم:
۲(۲ -) = (۲-) × (۲-) = ۴
۲۲ -= (۲۲)- =  (۲ × ۲) -= -۴
ab)2 = ab × ab)
 ab2 = a × (b)2 = a × b × b    
به چه نتیجه ای رسیدید؟
 

۴۳/۲ 
یعنی ۴به توان سه چهارم
m/n = m × (۱/n)    (  /   
یعنی خط کسری)


m/n = (1/n) × m
:


 جذر 

میدانیم ۳ به توان دو مساوی است با ۹ . عدد نه را مجذور ۳ مینامیم و عدد ۳ را جذر عدد ۹ مینامیم. مجذور هر عدد در واقع توان دوم آن عدد است .

مثال: ۴ به توان دو مساوی است با ۱۶ ،             
                         ۴جذر ۱۶

                                                                                     ۱۶ مجذور ۴

 
 

 
 

 
 

نکته: جذر عدد ۴۹ را اینگونه مینویسیم:۴۹ و می خوانیم رادیکال ۴۹ .

نکته: با توجه به جدول ضرب علائم ریاضی ، ملاحضه میکنیم: مجذور هر عدد مثبت ، عددی مثبت ؛ و مجذور هر عدد منفی نیز عددی مثبت است.

 پس اعداد منفی جذر ندارند.

جذر 

میدانیم ۳ به توان دو مساوی است با ۹ . عدد نه را مجذور ۳ مینامیم و عدد ۳ را جذر عدد ۹ مینامیم. مجذور هر عدد در واقع توان دوم آن عدد است .

مثال: ۴ به توان دو مساوی است با ۱۶ ،             
                         ۴جذر ۱۶

                                                                                     ۱۶ مجذور ۴

 
 

نکته: جذر عدد ۴۹ را اینگونه مینویسیم:۴۹ و می خوانیم رادیکال ۴۹ .

نکته: با توجه به جدول ضرب علائم ریاضی ، ملاحضه میکنیم: مجذور هر عدد مثبت ، عددی مثبت ؛ و مجذور هر عدد منفی نیز عددی مثبت است.

پس اعداد منفی جذر ندارند.

 محاسبه ی جذر تقریبی: میخواهیم جذر تقریبی ۳۱ را پیدا کنیم. میتوانیم فرض کنیم که ۳۱ مساحت یک مربعی است و طول ضلع این مربع را بدست می آوریم.

 
 

اگر طول یک ضلع مربع را a بنامیم :

داریم:                           

 
 

a = √۳۱                                                                          aبه توان ۲ مساوی است با ۳۱

۳۱ بین دو مجذور ۲۵ و ۳۶ است.

یعنی a = 5/…

 اگر مربع روبه رو دارای ضلع a باشد، ما به اندازه ی ۵ سانتی متر از A را روی ضلع AD و AB نقطه ای میگذاریم و آن نقطه را به موازات CD و BC ادامه میدهیم که مربعی به ضلع ۵ سانتی متر به دست می آید .

 اگر مربع کوچک مجاور زاویه ی C را حذف کنیم . دو مستطیل کوچک در مجاور ضلعها بدست می آید که با بدست آوردن عرض آن مستطیل به وسیله ی طول آن که ۵ سانتی متر است و جمع کردن  ۵ با آن ، ضلع تقریبی مربع (۳۱ ) بدست می آید.

  



دیدگاه ها


2 پاسخ به “توان و جذر در ریاضی”

  1. […] توان و جذر در ریاضی | سفارش تایپ ترجمه مقاله […]

  2. […] توان و جذر در ریاضی | سفارش تایپ ترجمه مقاله […]

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *